等差等比数列求和公式是什么

在数学中，等差数列和等比数列是常见的数列类型，它们的求和公式在数列问题中具有重要的应用价值。掌握这两个公式的推导过程和使用方法，有助于提高解题效率和理解数列的基本性质。

一、等差数列求和公式

定义：等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差为常数的数列，这个常数称为公差，记作 $ d $。

通项公式：

$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$

其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数。

求和公式：

$$ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) $$

或

$$ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] $$

说明：

- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和；

- $ a_1 $ 是首项，$ a_n $ 是第 $ n $ 项；

- 公式适用于任意等差数列。

二、等比数列求和公式

定义：等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比为常数的数列，这个常数称为公比，记作 $ r $。

通项公式：

$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$

其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比。

求和公式：

当 $ r \neq 1 $ 时，

$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$

或

$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$

当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，即所有项都等于 $ a_1 $，此时：

$$ S_n = n \cdot a_1 $$

说明：

- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和；

- $ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比；

- 当 $